数学的力量

郭凯  本文选自郭凯的个人博客“经济学笔记”

昨天又和社会学家吵架了。其实这种架跟很多“经济学家”也能吵起来。我发现一个规律，凡是对使用数学和统计学来理解社会现象没有深刻体会的人，很容易对于数学的使用产生某种“敌视”，觉得那不是必须的，甚至是多余的。我在给林毅夫写书评的时候，甚至很委婉的指出林先生的数学不好。后来林毅夫给我回信说：你说的太客气了，干脆直接说我不懂数学就是了。对于林先生的胸怀，我还是佩服的很。（参见”对话论道，授人以渔－评林毅夫新书《论经济学方法》“）
 
我先简单回顾一下我的研究生第一年。经历过经济中心第一年的学生，不少人大概都会觉得那一年生不如死。那一年的课实在有点难学，而且用很多数学。所以，在我到了研究生二年级开始给一年级的师弟师妹们做助教的时候，我当时的宗旨就是最小化数学，最大化经济学。换言之，能不用数学的地方就不用数学。可见那时那刻我对于使用太多数学的反感。这些，我的师弟师妹们大概是可以作证的。
 
我是一个理科出生的人，学完了物理类的数学，学完了力学，光学，电磁学，统计物理和热力学，理论力学，量子力学等等所有的物理口的基础课程。但是即便如此，经济学里使用的数学的难度，广度和复杂程度还是让我大吃了一惊。直到我来哈佛之前，我一直坚信，经济学过度数学化和技术化了。有时候只是为了追求技术，而忽略了思想。事实上，这些批评对非常多的二流经济学家依旧成立。
 
但是在哈佛的学习彻底颠覆了我对数学的错误观念。你发现，这些第一流的经济学家们，从来都是把数学当作工具。他们只用最恰当的工具，不会去用最复杂的工具。但是，当你需要建立最一般的理论而不需要附加很多假设的时候，你也许就需要很高深的数学。如果你不想对人们的效用函数的形式做出太有局限性的假设，那么你就得会用泛函分析，因为初等的微积分没法告诉你答案。当你需要对非常”脏“，噪音非常大的数据进行分析的时候，你就需要有非常好的统计工具。说一件让我诧异的事情，经济学中对时间序列数据的分析，大量的采用了电子工程中的信号处理技术。我们知道，电子工程需要从有噪音的信号中提取有用的信号，这点和经济学家想要得到的没有任何区别。在信噪比很小的时候，就需要进行非常复杂的处理，这个对电子工程适用，对经济学也适用。
 
从根本上说，经济学对数学（统计）的重视，在于两点，这就是我所谓的数学的力量－逻辑和量化。
 
先说逻辑吧。我想举的例子是著名的”阿罗不可能定理“。学经济学的应该都知道这个定理，学政治科学的也应该都知道。
 
阿罗不可能定理证明，在满足四个公理的条件下，社会选择不可能满足完整性和传递性，完整性意味着社会必须对任意两个社会结果进行排序，传递性意味着如果社会认为A比B好，B比C好，则应该认为A比C好。传递性对个人来说似乎是毫无问题的，但在社会选择中，传递性不满足，那集体行动不可能达到个体行动所具有的理性。

阿罗定理的四个公理是，第一，完备性，即社会选择必须接受任何可能的个人偏好；第二，独立于无关选择公理，即社会对两个选择的排序只与个人对这两个选择的排序有关，而与他们对其它选择的排序无关。比如，布什、克林顿、佩罗三个人竞选，布什和克林顿之间的排序不应受到布什跟佩罗之间的排序的影响；第三是弱帕累托原则，即，如果社会中所有的人都认为X比Y好，则社会排序也应该认为X比Y好，则社会排序也应该认为X比Y好；第四个公理是说社会中不应该存在一个独裁着，即不存在一个在任何时候都说话算数的人。

对阿罗定理的另一个解读就是，只有独裁体制，才是一个满足前三条公理且具有完整性和传递性的社会选择机制。其它任何体制，比如说少数服从多数，比如说两两多数，比如说差额选举，以及任何你可能想象的社会选择机制，都不可能既满足前三条公理并同时具有完整性和传递性。

阿罗不可能定理是一个对民主制度的咒语，但是这个东西并不是没有实例的，这就是著名的孔多赛悖论。

甲 乙 丙

a   b   c

c   a   b

b   c   a

孔多赛悖论就是上面这个例子，假设有甲乙丙三个人，甲认为a比c好,c比b好。乙和丙的偏好如图。他就说，如果在a和b之间投票选一个最好的，那么乙和丙都会选b,所以b赢。也就是b>a.要是在b和c之间投票，甲和丙都会投c,所以c赢，于是c>b.但是要是在a和c之间投票，甲和乙都会投a，于是a>c.所以我们就有了a>c,c>b和b>a.如果a,b,c是三个候选人，那么谁能选出来当总统，就完全取决于投票的顺序，任何人都可能当总统。用阿罗的语言就是，多数投票的结果不满足传递性。

但是阿罗走的比孔多赛远多了，他的结果对于任意多的候选人，不管是用什么样的方式选择，都是成立的。也就是说，孔多赛悖论对于任何选择机制都是成立的，除非有一个独裁者。阿罗是靠什么走得这么远的？数学！更确切的说是数学所代表的形式逻辑。这些东西，没有数学，恐怕很难有人能想出来吧？想出来了，恐怕跟人说也说不清吧。聪明的数学家和经济学家现在已经能把阿罗不可能定理的证明缩到只有一页纸。但是这个东西要是不用数学，怕是想破脑袋也想不出吧。

下面再说量化这件事情吧。如果形式逻辑这种东西，未必一定需要数学才能实现。量化这件事，要是没有数学（统计），那根本就是完全不可能了。拿我最近正在看的一篇论文举例吧，这是Bernard,Eaton,Jenson和Kortum的一篇American Economic Review的论文，这篇论文的内容很丰富，但是其中一个问题是：如果世界上所有的贸易壁垒一夜之间全部消失，那么对美国会有什么影响？你可能会想，这样也许会有更多的中国商品进入美国，导致更多的美国人失业。你也可以想，也许会有更多的美国商品进入中国，所以导致更多的美国人就业。但是，究竟是增加就业还是减少就业，是多少？BEJK用他们的模型给出了一个回答。他们用的是三步走的办法，他们先估计模型中的重要参数，第二步是用这个模型去预测现在的贸易数字，在得到了比较精确的预测之后，他们就把模型中贸易壁垒的参数调为零，然后看对美国的影响。他们也许是对的，当然也很有可能是错的。但是，这不是重点。重点是，只有运用了数学，我们才有可能对这样一个问题进行估计，不用数学的估计至多只能是拍脑袋。

数学是人类发明的伟大工具，也许超过任何其它的工具。当我在用这台电脑写BLOG的时候，这台电脑的硅片里面其实就是在进行最简单的逻辑和加减运算。没有学过电路和计算机的人，也许无法想象为什么逻辑和算术运算竟然会产生这么强大的功能，但这就是一个事实。